Lieux avec argument (2) - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, caractériser les ensembles suivants.

1. \(\mathscr{E}_1=\left\lbrace \text M(z) \colon \arg\left(\dfrac{z-i}{z+1}\right) \equiv 0 \ \ [\pi] \right\rbrace\)

2. \(\mathscr{E}_2=\left\lbrace \text M(z) \colon \arg\left(\dfrac{z+2-i}{z+3-5i}\right) \equiv \dfrac{\pi}{2} \ \ [2\pi] \right\rbrace\)

3. \(\mathscr{E}_3=\left\lbrace \text M(z) \colon \arg\left(\dfrac{z+2i-3}{z-4}\right) \equiv 0 \ \ [2\pi] \right\rbrace\)

4. \(\mathscr{E}_4=\left\lbrace \text M(z) \colon \arg\left(\dfrac{z+2i-3}{z-4}\right) \equiv \pi \ \ [2\pi] \right\rbrace\)

Solution

1. On note \(\text A\)  et \(\text B\) les points du plan complexe d'affixes \(z_\text A=-1\) et \(z_B=i\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) tel que \(z \neq -1\) et \(z \neq i\) . On a :
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_1& \Longleftrightarrow\arg\left(\frac{z-i}{z+1}\right) \equiv 0 [\pi]\\& \Longleftrightarrow\arg\left(\frac{z-z_\text B}{z-z_\text A}\right) \equiv 0 \ [\pi]\\& \Longleftrightarrow\left(\overrightarrow{\text A\text M};\overrightarrow{\text B\text M}\right) \equiv 0 \ [\pi]\\& \Longleftrightarrow\left(\overrightarrow{\text M\text A};\overrightarrow{\text M\text B}\right) \equiv 0 \ [\pi]\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}_1\) est la droite \((\text A\text B)\) privée des points \(\text A\) et \(\text B\) .

2. On note \(\text A\)  et \(\text B\) les points du plan complexe d'affixes \(z_A=-3+5i\) et \(z_B=-2+i\)
donc \(\mathscr{E}_2\) est le cercle de diamètre \([\text A\text B]\) privé des points \(\text A\) et \(\text B\) .

3.  On note \(\text A\)  et \(\text B\) les points du plan complexe d'affixes \(z_\text A=-4\) et \(z_\text B=3-2i\)
donc \(\mathscr{E}_3\) est la droite \((\text A\text B)\) privée du segment \([\text A\text B]\) .

4. On note \(\text A\)  et \(\text B\) les points du plan complexe d'affixes \(z_\text A=-4\) et \(z_\text B=3-2i\)
donc \(\mathscr{E}_4\) est le segment \([\text A\text B]\) privé des points \(\text A\) et \(\text B\) .